La mise en place des premières connaissances numériques

Les connaissances relatives s’acquièrent
tout au long d’un lent processus
qui se met en place probablement très tôt.

Voici un extrait très intéressant de l’article de M. Fenichel
(juin 2000)
issu du site de l’IUFM de Créteil  : http://maths.creteil.iufm.fr/Premier_degre/prem2.htm

– La comptine numérique
Dans la mise en place des premières connaissances numériques, une première étape serait de faire prendre conscience à l’enfant que cette pratique sociale consistant à énumérer une suite de mots, toujours la même, permet d’obtenir des renseignements que d’autres comprennent. Cette étape pourrait être illustrée par des activités autour de comptines, de livres à compter, de calendriers, de comptages divers au sein de la classe : absents, présents…

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Dans l’apprentissage de la comptine numérique, les observations font apparaître plusieurs stades :
– une simple récitation de la comptine « undeuxtroisquatre… » dans laquelle les mots ne sont pas différenciés.
– Une suite de mots bien distincts : un-deux-trois-quatre…
– Une suite utilisée dans un contexte de dénombrement où chaque mot est associé à un objet.
Mais certains objets peuvent être oubliés, ou d’autres pris en compte plusieurs fois avant qu’il y ait véritable correspondance terme à terme entre les mots qui ne sont pas encore des nombres et les objets.

– Le dénombrement

Une autre étape serait alors de passer de la récitation de la comptine numérique au dénombrement.
Savoir dénombrer, c’est :
– être capable de réciter de façon stable une partie de la comptine,
– être capable de la réciter aussi bien lentement que rapidement, en s’arrêtant, en reprenant,
– être capable de coordonner le geste de la main avec l’énumération des mots de façon à établir une correspondance terme à terme entre l’ensemble des mots et l’ensemble des objets : un mot, un objet
– être capable de gérer la collection d’objets à dénombrer, c’est-à-dire à tout instant, distinguer les objets déjà comptés de ceux qui ne le sont pas encore,
– être capable d’associer le dernier mot énoncé au nombre d’éléments de la collection : savoir que ce mot correspond à la réponse à la question “ combien ? ” et qu’il représente une quantité indépendante de l’ordre dans lequel on a compté les objets
– être capable de dire que l’on s’est trompé si deux ou plusieurs comptages des objets d’une même collection donnent un résultat différent,
-être capable de dénombrer des objets de nature différente, déplaçables ou non : sons, sauts de cases,…

Ce qui précède s’appuie sur les principes généraux qui sous-tendent la procédure de dénombrement, principes dégagés par Gelman et Gallistel, chercheurs en psychologie :
le principe d’adéquation unique consiste, lors d’un comptage, à assigner à chacun des objets un seul mot nombre de façon à ce que les mots utilisés soient deux à deux distincts et qu’aucun objet ne soit oublié,
le principe d’abstraction stipule qu’il est possible de dénombrer n’importe quelle collection,
–  le principe d’ordre stable stipule que lors de comptages répétés, on utilise les mots nombres dans un ordre stable,
le principe des non-pertinence de l’ordre : l’ordre dans lequel les éléments d’une collection sont dénombrés n’a pas d’importance,
le principe cardinal ou le principe du dernier mot énoncé permet de dire que le dernier mot énoncé est considéré comme l’expression de la mesure de la quantité.

Des enfants qui utilisent la comptine numérique ne le font pas toujours efficacement. On trouve des erreurs du type :
– défaut de synchronisation entre le geste de la main et la récitation de la comptine,
– mauvaise organisation du comptage : pas de distinction entre les objets déjà comptés et les objets non encore comptés,
– reprise du comptage des objets dès que l’on pose à nouveau la question « Combien ? » et pas de manifestation d’étonnement quand le résultat du deuxième comptage est différent du premier.

Un enfant peut donc utiliser le nombre sans en dominer complètement le sens. Il peut en faire un emploi partiel, limité à certaines occasions. Ses compétences peuvent varier selon le domaine numérique dans lequel il travaille.
Il peut dénombrer une collection sans être capable de comparer cette dernière à une autre du point de vue de la quantité.
Il peut utiliser des procédures de dénombrement sans pouvoir dire combien il y a d’éléments dans une collection et donc être incapable de mémoriser la quantité d’objets de cette collection pour constituer une autre collection équipotente à la première. De plus le mot-nombre peut avoir obtenu son statut cardinal et donc être un repère sûr et fiable pour dénombrer, mémoriser le nombre d’éléments d’une collection et le communiquer mais ne pas être en relation avec les mots-nombres qui le précèdent et qui le suivent : si on ajoute un élément à la collection que l’enfant vient de dénombrer, il peut avoir besoin de tout recompter.

– Passer du dénombrement au calcul

Cette étape est beaucoup plus complexe, car plus ancrée dans le notionnel : la suite numérique ne s’arithmétise que très progressivement et ce n’est que peu à peu que s’établissent les relations mathématiques entre les nombres.

Elle nécessite :
– la construction d’une collection équipotente à une collection donnée (donner du sens à l’expression »autant que »)
– la comparaison de plusieurs collections du point de vue numérique (donner du sens aux expressions “ plus que ”, “ moins que ”)
– l’évaluation relative de la quantité d’une collection en fonction d’une autre ( donner du sens à l’expression “ combien en plus ? ”)
– l’itération de l’unité
– la décomposition d’une collection en plusieurs parties sans perdre de vue le tout.

L’accès au dénombrement ne suffit pas à fonder les propriétés opératoires du nombre : pour concevoir que les n objets d’une collection puissent être répartis en sous collections comprenant respectivement p, q et r objets sans que le total n’en soit affecté, il ne suffit pas de savoir dénombrer, il faut mettre en œuvre un raisonnement logique du type suivant : la répartition n’ayant ni enlevé, ni ajouté d’objets, la collection totale peut à tout moment être reconstituée. La transformation effectuée a modifié l’organisation des objets dans l’espace sans en affecter la quantité. Pour concevoir cela, il faut être en mesure d’effectuer au moins dans la pensée la transformation inverse. Le passage des procédures de comptage aux procédures de calcul est un des enjeux du cycle2. Certains enfants ont des techniques de comptage qui leur permettent de résoudre des problèmes additifs bien que limitées à un champ numérique restreint .
Dans un jeu où l’enfant doit réunir deux collections dont il connaît les cardinaux, l’enfant peut recompter le tout ou surcompter à partir du dernier mot-nombre (cardinal) de la première collection. Lorsque les éléments de la deuxième collection ne sont pas visibles, l’enfant devra faire appel aux deux cardinaux et reprendre une deuxième fois la comptine sur une troisième collection de référence, les doigts par exemple, en prenant en compte le cardinal de la première collection et le cardinal de la deuxième collection.

Mais il n’est pas alors certain que le mot-nombre énoncé à la fin ait un statut de cardinal. Il ne peut être que le dernier mot du comptage sans référence à la réunion des deux collections.
Brissiaud, pour sa part, pense que les techniques de comptage trop vite et trop systématiquement utilisées peuvent faire obstacle au passage au calcul, qu’il est nécessaire et important de développer très tôt sur des petits nombres la mise en relation entre les parties et le tout. Il privilégie la logique langagière du calcul plutôt que la logique langagière du comptage et pense que le comptage est un outil technique puissant mais que le pédagogue peut en retarder l’enseignement seulement après avoir fait vivre aux enfants des activités dans lesquelles il s’agit d’exprimer quelques quantités en utilisant les relations entre les parties et le tout : 3, c’est 2 et encore 1, 4, c’est 2 et encore 2.
L’enseignement du comptage peut alors être fait lorsque l’enfant a expérimenté, dans des contextes adaptés, des procédures de quantification plus proches du calcul que du comptage… »

 

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